Сегодня мы будем решать задачи из книжки Е.В. Смыкаловой
Разберем решение первой задачи.
Вначале была 1 кучка из 12 камней.
А в конце будет 12 кучек по 1 камню.
Посчитаем количество ходов.
1 ход - 2 кучи
2 ход -3 кучи
и тд
11 ход 12 кучек
Кто сделает 11 ход?
Назовем первого игрока НЕЧЁТНЫЙ, потому что он делает нечетные ходы.
А второго ЧЕТНЫЙ, потому что он делает четные оды.
Поэтому 11 ход делает первый.
Второй проиграет.
Задачи 2-4 решаются аналогично. Неважно сколько кучек было вначале. Важно количество ходов и чётность-нечётность.
Заметим, что в этих задачах есть некие закономерности, которые не изменяются.
В олимпиадных задачах такое постоянство называется ИНВАРИАНТОМ.
То есть первый игрок делает нечетные ходы, а второй четные.
И количество ходов на один меньше, чем количество камней в кучке.
Задачи 5-6 объединяет другое свойство. Симметрия.
Если у нас две кучки с одинаковым количеством камней, то первый всегда проигрывает.
Потому что второй будет ходить симметрично и забирать такое количество камней, что и первый, но из другой кучки.
Количество камней в первоначальных кучках неважно. Главное - их равенство.
Задачи 7 и 8 можно свести к задачам 5 и 6.
Первому достаточно в задаче 5 забрать одну кучку, и тогда он выиграет.
А в задаче 6 первому достаточно уравнять кучки.
Для решения задачи 9 введем понятия проигрышная и выигрышная позиция.
И попробуем эту задачу проанализировать с конца.
Если осталось 2 камня, как должен поступить игрок?
Он должен взять 1 камень, чтобы соперник проиграл.
Если осталось 3 камня, то игрок должен взять 2 камня.
Делаем вывод, если на предпоследнем шаге останется 2 или 3 камня, то ходящий игрок выиграет.
А ходящий последним проиграет.
Теперь посмотрим, как ходить первому.
Если он возьмет 1 камень, то второй возьмет тоже 1, чтобы первому досталось 4 камня и он не смог оказаться в выигрышной позиции.
Если же первый возьмет 2 камня вначале, то как бы второй не походил (взял 1 или 2 камня), первый окажется в выигрышной позиции (у него будет 3 или 2 камня).
А теперь подумайте, что изменится, если в первоначально в кучке будет 7 камней (задача 10)?
