самоссылающиеся записи (klarissa45) wrote,
самоссылающиеся записи
klarissa45

Categories:

Геометрия социального дистанцирования


Недавно мне попалась такая статья на английском языке
Привожу ее краткий пересказ.

Давайте поговорим о геометрическом аспекте коронавирусной проблемы


То есть поговорим об упаковке кругов и упаковке сфер в связи с социальной дистанцией.

Этими задачами занимались великие математики прошлого.
И сегодня продолжаются исследования в этой области.
В конце 70-х годов прошлого века математики  нашли оптимальные способы упаковки сфер в 8 и 24 мерных пространствах.
это позволило получить изображение Сатурна и его спутников в 1980 году с космической станции Вояджер на Землю с использованием двоичного 24-битного кода.

Если вам надо упаковать апельсины или рассадить студентов на безопасном расстоянии , то размеры коробки или аудитории являются определяющим фактором.

Давайте рассмотрим сначала двумерное пространство - плоскость



Такое размещение называется "квадратной упаковкой".
Центры кругов являются вершинами квадратов.



Давайте рассмотрим один из квадратов


И найдем соотношение пустого места и заполненного.
Каждый квадрат примерно на 78,54 покрыт кругом.
Это соотношение верно и для плоскости.

Попробуем оптимизировать упаковку кругов



Получим "гексогональную упаковку", теперь центры окружностей находятся в вершинах шестиугольников




Какая часть шестиугольника покрыта кругами?

July_Academy_Figure_8.jpg

Путем несложных вычисление получим 90,69%.
Труднее доказать, что это оптимальная упаковка.
Лагранж и Гаусс проблему полностью не решили.
Это удалось сделать только в 40 годах прошлого века.

В трехмерном пространстве для шаров задача усложняется.
Разместим первый слой




А теперь второй слой



Третий слой можно уложить двумя способами

Кладем шары в промежутки ( вид сбоку)

Наоборот оставляем промежутки открытыми (вид сверху)


Трехмерное пространство позволяет оптимизировать процесс упаковки.

Давайте сравним круг в квадрате и шар в кубе




Круг занимает 0,7854 площади квадрата, а шар занимает 0,5236 объема куба.
Закономерность сохраняется: n-мерные шары будут занимать все меньше и меньше места в n-мерных кубах при увеличении n.

Однако, если n=8 , начинают происходить удивительные вещи.
Это заметила в 2016 году украинский математик Марина Вязовская, работающий ныне в Швейцарии.
Ее решение было компактным и занимало всего 23 страницы, тогда как решение трехмерного случая занимало 300 страниц.
Работу для n=24 Марина написала уже в соавторстве.

Можете решить следующие задачи

1. Найдите координаты центра третьего круга

2. Простая кубическая упаковка шаров. Какова ее плотность?



3. Рассмотрим упаковку правильными восьмиугольниками. Какова ее плотность?





PS читайте про стихийные тропы здесь
Tags: геометрия, женщины, история математики, коронавирус, космос, математика для всех, математика и жизнь
Subscribe

Posts from This Journal “математика и жизнь” Tag

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments